StatQuest学习笔记03——标准差、标准与置信区间

前言

这是StatQuest视频教程的第8-12个。

第8个视频的内容为标准差，标准误，第9个视频是柱状图与饼状图；第10个视频是对数转换以及对数的运算，这个非常简单；第11个视频：置信区间；第12个视频：

标准差与标准误

看下面的案例，这5个点是5只小鼠的体重，其中红色竖线是均值，红色横线就是标准差（standard deviation），它表示的是数据的分布情况，如下所示：

接着，我们在5个时间点，又分别测量了这5只小鼠的体重，如下所示：

我们分别计算一下这5次检测的均值与标准差，就是下图中竖线与横线所示：

此时，将这5次测量数据的均值放到一起，计算这些均值的均值与标准差，如下所示：

此时，我们称这个均值的均值为标准误（The Standard Error,SE，有的书会称为SEM）。

标准差与标准误的区分

标准差

标准差研究 提一次测量中，数据的变异程度，如下所示：

标准误

标准误研究的是多次测量的变异程度，如下所示：

标准误的估算

对于标准误比较让人糊涂的地方在于，虽然标准误研究的是多次测量的变异，但是，一次的检测数据也能估算出标准误（其实就是标准差除以样本数的平方根）。因此，如果你只有一次检测的数据，也是能够画出标准误的曲线的（在GraphPad中就能发现这种绘图方法）。

但是，多数情况下，绘图中经常出现的是标准差，而不是标准误（虽然标准误很好看），因为图形展示的通常是你的测量数据，而不是研究几次测量数据的变异。

饼状图与柱状图

这两种图的用途很好区分，从形状上就能看出，饼状图通常是研究不同成分在整体中的比例，柱状图通常是研究不同成分自身的数据，如下所示：

如果是两组数据，只看柱状图不太容易看出它们整体中各种成分的差异，如果是饼状图就很容易看出来了，如下所示：

对数

先看一组数据，如下所示：

在上图中，左边数轴上是0到8，而这些数字可以写成2的指数幂形式，这样的话，1就是2的0次方，2是2的1次方，4是2的2次方，相应的的5，6，7都可以这么写，只是它们的指数不是整数，这样的话，我们将这个数轴转换一下，让这些数字的指数作为数轴上的数字，如下所示：

从上图可知，使用了一个对数log转换，将原始数字转换成了以2为底的对数形式。

在生物学中，RT-qPCR的数据基本上都是以2为底的对数的形式展现的，我们经常看到RT-qPCR的数值不是整数，这也好理解，因为PCR的扩增效率不可能是100%（如果是100%，则肯定是整数）。在qPCR的数据处理中，通常使用的是几何均数。几何均数是对各变量值的连乘积开项数次方根。 另外，在对转录组数据进行分析时，也通常使用对数，对于差异基因的结果，通常也是对数表示的，正数表示基因表达上调，反之，下调。

置信区间（confidence intervals）

先看一个场景，下图是我们检测了一批雌性小鼠（12只）的体重，其中红色竖线是这次数据的均值：

此时，我们从这批小鼠中自举（bootstrap）一些样本，例如我们随机选取12只（肯定有重复挑中的小鼠，这个没有关系），如下所示：

关于自举：

自举的思想：

从给定训练集中有放回的均匀抽样，也就是说，每当选中一个样本，它等可能地被再次选中并被再次添加到训练集中。从初始样本重复随机替换抽样，生成一个或一系列待检验统计量的经验分布。 无需假设一个特定的理论分布，便可生成统计量的置信区间，并能检验统计假设。

自举后，计算这次抽样的均数，然后再自举，再算均数，这个过程持续很多次（大于1000次），计算出的均数如下所示：

此时我们计算置信区间，如下所示：

这个95%的置信区间就是指，它覆盖了这次自举所有数据的95%均值范围。由于这个置信区间覆盖了95%的均值，那么我们就知道，均数在这个区间之外的概率是不到5%（0.05只是一个界限）。那也就是说，任何在这个区间之外的数字的概率p值是小于0.05的（也就是说有显著意义）。

置信区间的用处

先看置信区间的示意图：

均值是对“真实”值的估计（真实值是无法知道的，只能通过不断地测量一步一步接近）。

它有95%的可能落在95%的置信区间内，下图的绿色椭圆的范围是在95%的置信区间之外，它的最右边是20，我们可以发现，在这个绿色椭圆之内也有一个均值（是通过自举法计算的），也就是说这个均值落在了这个绿色的椭圆之内，那么均值落在它里面的概率是多少？这个概率我们通常用p值来表示。从图形上可以看出来，这个绿色椭圆的范围是在95%的置信区间之外，因此我们就可以推断出此时p值是小于0.05的（这只是一种非常粗糙的推断，具体的推导过程可以看相关的数学书），因此我们就可以下结论：“真实”值出现在95%区间以外的概率不到5%（也就是说p值小于0.05时有统计学意义）。

两个数据集的比较

再看一个案例，下图是雌性小鼠与在雄性小鼠体重的测量结果，如下所示：

其中，上图的黑色横线表示的是各自的95%置信区间。从图片上我们就可以直接看出，这两组数据的95%置信区间并不重复，它是有统计学意义的，也就是说我们可以直接看出来p值是小于0.05的（在实际运用中不可以这么做，还是要通过t检验进行计算）。但是，如果它们的95%置信区间有部分重合，就像下面的这个样子：

此时就要进行t检验了。